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即皇宫內各官署的值班房与临时办公处。
清代官员需在宫中当差、夜间待命、以备皇帝隨时召见者，均在宫內值庐值守、办公、暂歇，並非回私宅。
文中李砚臣身为翰林院侍讲学士，夜间在紫禁城翰林院值庐用功，方能深夜研算海防、即刻入宫见驾。
1.翰林院侍讲学士
清代翰林院中层清贵官为从四品，常为皇子授读，是皇帝近臣，多由学识优长的进士担任。
虽品级不算极高，但地位清贵，是日后封疆大吏、宰辅重臣的重要出身。
2.清代水师火炮与火药
清代中期水师火炮普遍存在膛壁不匀、火药配比粗糙问题，射程与威力不及西洋与海盗私购之炮。
本章所写硝七、硫二、炭一，是当时实战中较稳定的火药配方。
3.鹿耳门
今台湾台南附近古港，水浅礁多，潮汐直接决定巨舰能否出入，是清代台海必爭之地，蔡牵、庄应龙反覆爭夺的关键海域。
4.清代实学思潮
清中期士大夫不满空谈理学，兴起“实学”
，强调测算、格物、百工、水利、军器、海防等经世致用之学。
以现代视角而言，李砚臣可谓一位贯通中西、兼修数、理、化、天文、工程的全能型学者。
本章出现的中国古代实学典籍全解
（一）数学类
1.《周髀算经》
-朝代：西汉（成书於公元前1世纪，理论源於西周）
-作者：不详（先秦遗文，汉代整理）
-核心內容：中国最早的天文数学著作，提出“盖天说”
，系统记载勾股定理（商高定理）、测高望远术、日月星辰运行周期。
-史实对比：书中记载的勾股定理（“勾三股四弦五”
，a2+b2=c2），由西周数学家商高於公元前11世纪提出，比古希腊毕达哥拉斯（pythagoras，公元前6世纪）早约500年。
2.《九章算术》
-朝代：东汉（定型於公元1世纪）
-作者：张苍、耿寿昌等（集体编撰）
-核心內容：分数运算、比例、方程术（多元一次方程组）、正负数运算、几何面积与体积。
-史实对比：首次提出正负数加减法法则，比西方早1500年（西方直到17世纪才承认负数）；联立方程组解法，比欧洲早1200年。
3.《算法统宗》
-朝代：明代（1592年）
-作者：程大位
-核心內容：珠算集大成之作，完整记载算盘口诀、开方、丈量、工程测算。
-史实对比：此书推动珠算成为全球最早的標准化计算工具，明末传入日本、朝鲜，成为东亚数学基础。
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