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轨线是指相平面中由方程组的解所描述出的曲线.
现在，我们来求解轨线方程.将模型方程的一式除以二式，得到
dxdy=－ay－bx，
即
bx·dx=ay·dy，
进而得该模型的解满足：
bx2－ay2=K，
其中K=bx20－ay20.
4. 战争结局分析
模型解确定的图形是一条双曲线，如图33所示.箭头表示随着时间t的增加，x（t）、y（t）的变化趋势.而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”
（全部投降或被歼灭）的一方为败.因此，如果K0时，甲方获胜.而当K=0时，双方战平.
图33平方律的双曲线
不难发现，甲方获胜的充要条件为
bx20－ay200，
即
bx20ay20.
代入a、b的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
rx·px·x20ry·py·y20，
从其形式，可以发现一种用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为rx·px·x2，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、士兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系，这样在三个因素中当只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，显然要选士兵数的增加，它可以带来部队综合战斗力四倍的提升.因此，正规作战模型又被称为平方律模型.
5. 模型应用
正规作战模型在军事上得到了广泛的应用，主要是作战双方的战斗条件比较相当，方式相似.J.H. Engel就曾经用正规战模型分析了著名的硫磺岛战役，发现和实际数据吻合得很好.
3.4.2模型二游击作战模型
1. 模型假设
（1） 不考虑增援，忽略非战斗减员；
（2） 甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的.因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加；
（3） 若以Sx、Sy分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，以sx、sy分别表示甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，Sx、Sy、rx、ry主要取决于部队的武器装备的性能和贮备；rx、ry也取决于士兵的个人素质.所以甲方的战斗有效系数d=rxsxSy，乙方的战斗有效系数c=rysySx.
2. 模型建立
与正规作战模型相同，据模型假设1，得游击作战模型的形式也为：
x′（t）=－f（x，y）
y′（t）=－g（x，y）
x（0）=x0，y（0）=y0.
由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f（x，y）=cxy，g（x，y）=dxy.
结合以上两表达式，并代入c、d的值，可得游击作战的数学模型：
x′=－ry·sy·xSx·y
y′=－rx·sx·ySy·x
x（0）=x0，y（0）=y0
3. 模型求解
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