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由此可知，这个观察没有一丝错误。
若要推到一般的情形去，那么，第六图这个矩形的长是：
而它的宽却是：
n+1+n=2n+1
所以它的面积就应当是：
这就可证明：
比如，我们要求的是从1到10十个整数的平方和，n就等于10，这个和便是：
说到第三个例子，因为是数的立方的关系，照通常的想法，只能用立体图形来表示，但若将乘法的意义加以注意，用平面图形来表示一个立方，也不是完全不可能。
先从23说起，照原来的意思本是3个2相乘，若用式子写出，那就是2×2×2。
这个式子我们也可以想象成（2×2）×2，这就可以认为它所表示的是2个2的平方的意思，可以画成第七图的A，再将形式变化一下，可得出第七图的B。
同样地，33可以用第八图的A或B表示，而43可以用第九图的A或B表示。
第八图
第七图
第九图
第十图
仔细观察一下第七、八、九图的B，我们得出下面的关系：
第七图的B的缺口恰好是12，但13和12，我们用同一形式表示，在意义上没有很大的差别，所以13刚好可以填23的缺口。
第八图B的缺口，每边都是3，这和第七图B的外边相等，可知13和23一起，又正好可将它填满。
最后，第九图的B的缺口每边都是6，又恰等于第八图的B的外边。
因此13、23和33并在一起，也能将它填好。
按照这个填法，我们便得第十图，它恰巧是13+23+33+43的总和。
从另一方面来说，第十图只是一个正方形，每边的长都等于：
1+2+3+4
所以它的面积应当是（1+2+3+4）的平方，因此我们就证明了下面的式子：
13+23+33+43=（1+2+3+4）2
但这式子右边括弧里的数，照第一个例应当等于：
因此：
推到一般的情形去：
上面的三个例子，我们都只凭了几个很小的数字的观察，便推到一般的情形去，而得出一个含有n的公式。
n代表任何整数，这个推证究竟可不可靠呢？换句话说，就是我们的推证有没有别的根据呢？按照实际的情形说，我们已得出的三个公式都是对的。
但它对不对是一个问题，我们的推证法可不可靠又是一个问题。
我来另举一个例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方14641。
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