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照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长，用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。
但若是测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。
因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺点完全补正，但总是较进一步了。
孔德究竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。
而这些支流和量或测量实在没什么关系。
即如笛沙格（Desargues）所证明的一个极有兴味的定理：“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”
这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。
数学的这种进展，自然是轻巧地将孔德所给的定义攻破了。
到了1970年，皮尔士（Peirce）就另外给数学下了一个这样的定义：“数学是产生‘必要的’结论的科学。”
不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。
我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。
从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。
所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。
照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？
不！
依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”
。
若说是“必要”
，那就很可怀疑。
我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？
更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老方法，但像皮亚诺（Peano）、布尔（Boole）和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，对于数学的基础的研究他们要掉一个方向去下寻根问底的功夫。
于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。
关于这定义的改正，我们可以举出康伯（Kempe）的来看，他说：“数学是一种这样的科学，我们用它来研究思想的题材的性质。
而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同，个别和复合的一个数的概念上面。”
这个定义，实在太严肃、太文气了，而且意味也有点儿含混。
在康伯以后，布契（B?cher）把它改变了一下，便这样说：“倘若有某一群的事件与某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”
在这个定义中，有一点最值得注意，布契提出了“关系”
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