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因为k是变化的!
除非……一次项系数8y和常数项3√3(x-4)也都为零!
凌凡感觉自己的心脏快要跳出胸腔了!
他抓住了关键!
完整的逻辑应该是:方程★要对所有k≠0恒成立。
情况一:如果二次项系数-3√3(x+4)≠0,那么这是一个真正的二次方程,它不可能有无穷多个根(所有非零实数),所以这种情况不可能。
情况二:如果二次项系数-3√3(x+4)=0,那么方程退化为一次方程:8yk+3√3(x-4)=0。
要这个一次方程对所有k≠0成立,必须同时有:一次项系数8y=0常数项3√3(x-4)=0因此,唯一的可能性就是:-3√3(x+4)=0=>x=-48y=0=>y=03√3(x-4)=0=>x=4这依然是一个矛盾!
x既要等于-4又要等于4?绝望再次袭来。
但凌凡没有放弃,他像一匹孤狼,死死咬住猎物的喉咙。
他再次审视情况二:当二次项系数为0时,方程退化为一次方程,要求一次项系数和常数项都为0。
这意味着,定点(x,y)必须同时满足x=-4和(y=0且x=4)。
这显然是不可能的。
“所以……还是无解?”
凌凡感到一阵虚脱。
突然,他猛地抬起头!
他意识到自己犯了一个致命的、却又是最容易被忽略的错误!
他搞错了对象!
方程★:-3√3(x+4)k2+8yk+3√3(x-4)=0这个方程里的(x,y),是直线n上点的坐标!
而不是定点本身的坐标!
他的整个推导,是基于“定点(x0,y0)代入直线n方程应得到恒等式”
这一点,这没错。
但是,他错误地将这个恒等式直接整理成了关于k的方程,然后去要求这个方程本身对任意k成立时,系数满足的条件。
实际上,正确的逻辑是:存在一个定点(x0,y0),使得当把这个定点的坐标(x0,y0)代入直线n的方程(方程★)时,所得到的关于k的等式,能够对所有k≠0恒成立。
也就是说,(x0,y0)是固定的数,代入后,方程★变成了:-3√3(x0+4)k2+8y0k+3√3(x0-4)=0(对?k≠0)(方程★★),!
现在,对于固定的(x0,y0),方程★★的左边是一个关于k的函数f(k)。
我们需要找到特定的(x0,y0),使得f(k)=0对于所有k≠0都成立。
而f(k)是一个关于k的二次函数(除非二次项系数为0)。
要使一个二次函数在k≠0时恒为0,唯一的可能性就是:这个二次函数的所有系数都是0!
即:-3√3(x0+4)=08y0=03√3(x0-4)=0这下,矛盾真真切切地出现了!
无解!
凌凡彻底呆住了。
大脑一片空白。
难道……这道题……真的……是错的?就在他万念俱灰,几乎要接受这个事实的时候,他的目光无意中扫过了之前林天写下的第三种情况:当p(1,32)时,直线n的方程为y=(-34)x+6。
这条直线……它会不会恰好经过某个特殊的点?凌凡下意识地拿起笔,开始画图。
点(4,3),n(-4,9),连线。
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