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所以它的面积就应当是：
这就可证明：
比如，我们要求的是从1到10十个整数的平方和，n就等于10，这个和便是：
说到第三个例子，因为是数的立方的关系，照通常的想法，只能用立体图形来表示，但若将乘法的意义加以注意，要用平面图形来表示一个立方，也不是全然不可能。
先从23说起，照原来的意思本是3个2相乘，若用式子写出，那就是2×2×2。
但这个式子我们也可以想象成（2×2）×2，这就可以认它所表示的是2个2的平方的意思，可以画成图9的A，再将形式变化一下，更可得出图9的B。
同样地，33可以用图10的A或B表示，而43可以用图11的A或B表示。
就图9、图10、图11的B仔细观察一下，我们得出下面的关系：
图9的B的缺口恰好是12，但13和12，我们用同一形式表示，在意义上没有很大的差别，所以13刚好可以填23的缺口。
图10B的缺口，每边都是3，这和图9B的外边相等，可知13和23一起，又正可将它填满。
末了，图11的B的缺口每边都是6，又恰等于图10的B的外边。
因此13、23和33并在一起，也能将它填好。
就照这个填法，我们便得图12，它恰巧是13+23+33+43的总和。
从别一方面来说，图12只是一个正方形，每边的长都等于：
1+2+3+4
所以它的面积应当是（1+2+3+4）的平方，因此我们就证明了下面的式子：
13+23+33+43=（1+2+3+4）2
但这式子右边括弧里的数，照第一个例子应当等于：
因此：
推到一般的情形去：
上面的三个例子，我们都只是凭了几个很小的数目的观察，便推到一般去，而得出一个含有n的公式，n是代表任何整数。
这个推证究竟可靠不可靠呢？换句话说，就是我们的推证有没有别的根据呢？就实际的情形说，我们所已得出的三个公式都是对的，但它的对不对是一个问题，我们的推证法可靠不可靠又是一个问题。
我来另举一个例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方是14641。
从这几个数，我们可以看出三个法则：第一，这些数排列起来，对于中点说，都是对称的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒数第二位都等于乘方的次数。
依这个观察的结果，我们可不可以说11的n次方便是1n…n1呢？要下这个判断，我们无妨再举出一个次数比4还高的乘方来看，最简便的自然就是5。
11的5乘方，照实际计算的结果是161051。
上面的三个条件，只有第二个还存在，若再乘到8次方，结果是214358881，就连第二个条件也不存在了。
由这个例子，可以看出来，单只就几个很小的数的变化观察得的结果，便推到一般去，不一定可靠。
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