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在这个理由的下面，我们就不得不怀疑到我们前面所得出的三个公式。
倘使没有别的方法去证明，在那三个例子中是有特殊的情形可以用那样的推证法，那么，我们宁愿去找另外的一条路来解决。
是的，前面所已得出的三个公式很可以怀疑，但我们也并非毫无根据。
第一个式子最少到了7是对的，第二、第三个式子最少到了4也是对的。
我们若不惮烦地顺着再试验上去，可以看出来，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是对的。
但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能够就保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。
我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”
它的形式是对的，再来加以检查，为着便利，容我在此重写一次：
在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。
假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然单只就式子的“形式”
去考查，但这种考查我们用不到怀疑。
在某一意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。
所谓n变到n+1，就无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：
（一）
（二）
（三）
从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式全然相同。
因此，我们得出一个极重要的结论：
“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”
事实上，我们已经观察出来，这三个式子至少对于4都是对的。
运用这个结论，我们无须再试验，也就有理由可以断定它们对于5都是对的。
既然对于5对了，那么同一理由，对于6也是对的，再推下去就对于7、8、9……都是对的。
到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。
这种证明法，我们叫它是数学归纳法。
数学上所常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。
关于堆罗汉这类数列的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。
本来：
S=1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n
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