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下面，我们来思考一个掷硬币的游戏。
如果游戏者第一次投掷成功，掷出正面，就可以获得2日元的奖金，游戏就此结束。
如果掷出反面，可以再掷一次。
当再次掷出的结果为正面时，可以获得4日元的奖金并结束游戏。
如果掷出的还是反面，则允许再掷一次。
如果再次掷出的结果为正面，则可以获得8日元的奖金并结束游戏。
就这样不断循环下去，直至掷出正面为止，每多掷一次，奖金就翻一倍。
在这种情况下，当每次掷硬币的收费为多少时，你会选择投注呢？
如果是10日元，你会投注吗？如果是100日元，情况又会怎样呢？如果是1万日元，你还会投注吗？请大家先认真思考，想好自己的决定，然后认真阅读下文的说明。
为了回答这一问题，你的头脑中肯定会闪过这个念头：“在投硬币时，最多会连续出现多少次反面呢？”
比如，对于那些认为“连续出现5次反面已经够多了”
的人而言，如果第6次掷到正面，累计的奖金就达到了64日元。
因此，他们做出的判断很可能是：如果投注费只有10日元或20日元，完全可以参加；如果投注费达到了50日元以上，就不适合再参加了。
对于那些坚持认为“即使连续出现10次反面也没有什么值得惊讶”
的人而言，他们预期能够获得1024日元以上的奖金，因此完全可以接受数百日元的投注费。
下面，我将运用期望值标准，向大家介绍一个令人惊掉下巴的答案，那就是“即使投注费达到1000万日元，甚至是1亿日元，你也应该去赌一下”
。
请大家先浏览一下表5-1，以检验期望值的计算结果。
表5-1 掷硬币奖金的期望值
由于整个博彩游戏的奖金期望值等于每一个结果的概率与每一个结果的奖金之积相加，为了直观体现结果，我对其进行了列表对比。
结果一目了然，无论掷多少次，期望值都是1日元。
这是因为随着投掷次数的增多，以后的结果虽然概率很小，但是其对应的奖值越来越大。
因此，所有投掷次数的期望值之和，也就是整个博彩游戏的奖金期望值，就会趋近于无穷大。
也就是说，这种赌博的奖金期望值是无穷大的。
这就推导出一个结论，就算投注费达到1亿日元，甚至1万亿日元，你都应该去赌一下。
伯努利认为这种结论是一种悖论。
这是因为在现实生活中，无论什么人都不会去付出高到离谱的投注费。
也就是说，期望值的不合理之处体现在两个方面：一方面“即使大家都知道博彩经营者会抽取佣金，导致彩票奖金的期望值变为负值，还是有人会沉迷其中，不能自拔”
；另一方面，圣彼得堡悖论从完全相反的角度出发，证明了人们并非按照期望值标准决策的。
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