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三、形式化和非形式化、系统和非系统
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知性思维向辩证思维现代“复归”
的又一表现就是，它在逻辑上彻底解决了形式化问题。
哥德尔的不完全性定理埋葬了希尔伯特的形式主义理想，揭示出不完全性、非形式化在逻辑上的合理存在性。
所谓形式，就是事物的内在和外在的结构、有序性、量的比例性。
形式化就是试图从结构、有序性、量的比例来全面地表征事物的本质。
形式方法在古代就已经运用了。
欧几里得几何、形式逻辑都是形式方法的具体化。
随着非欧几何对欧氏几何的突破，形式方法的研究进入到一个新的层次。
希尔伯特在20世纪初提出了他的形式主义理论，认为以前的形式化只是从直观对象出发，然后归纳出公理，并在公理的基础上进行演绎，而现代的形式系统应该排除明显的直观性，应是一种“假设—演绎系统”
。
因此，问题倒过来了，重要的并不在于研究什么样的对象，而在于设定什么样的前提和关系，即设定“论域”
，不同的“论域”
就会展现出不同方面。
希尔伯特以这种前提和关系的形式处理了欧几里得几何，从而消除了欧氏几何的直观性。
希尔伯特提出五种关系，即“在……之上”
——联结关系，“介于……之间”
——次序关系，“合同于”
——合同关系，“平行于”
——平行关系，“连续”
——连续关系，并力图通过对这五种关系的推演，证明欧几里得几何学。
显然，希尔伯特的形式方法比欧氏几何公理方法更为普遍，并提出一个形式系统应该包含无矛盾性、完备性、公理的独立性。
希尔伯特的形式主义方法使数学的对象发生了变化，即在某种意义上，数学可以不以客观世界中的“量”
和“形”
为对象，对象可以是符号系列。
人们经过定义，赋予符号系列以各种“规定”
、“论域”
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