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十一、微分方程式
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在数学的园地中，微分法这个院落从建筑起来到现在，都在尽量地扩充它的地盘，充实它的内容，它真是与时俱进，越来越繁荣。
它最初的基础虽简单，现在，离开那初期的简单的模样，已不知有多远了。
它从创立到现在已经是两世纪半，在这二百五十多年中，经过了不少高明工匠的苦心构思，便成了现在的蔚然大观。
很多数学家逐渐扩展它，使它一步步一般化，所谓无限小的计算，或叫作解析数学的这一支，就变成了现在的情景：在数学中占了很广阔的地位，关于它的专门研究，以及一切的应用，也就不是一件容易弄清楚的事！
不过，要进一步去看里面的“西洋景”
，这倒很难。
毫不客气地说，若还像以前一样，离开许多数学符号，要想讲明白它，那简直是不可能的。
因此，只好对不起，关于无限小的计算，我们可以大体讲一下，也就快收场了。
但请你不要就此失望，下面所讲到的也还是一样重要。
从我们以前讲过许多次的例子看起来，所有关于运动的问题，都要用到微分法。
因为一个关于运动的问题，它所包含着的，无论已知或未知的条件，总不外是延续在某一定时间当中的空间的路程、它的速度和它的加速度，而这三个量又恰好可以由运动的法则和这个法则的诱导函数表明。
所以，知道了运动的法则，就可以求出合于这法则的速度以及加速度。
现在假如我们知道一些速度以及一些加速度，并且还知道要适合于它们所必需的一些不同的条件，那么，要表明这运动，就只差找出它的运动法则了。
单只空空洞洞地说，总是不中用，仍然归到切实一点的地步吧。
关于速度和加速度，彼此之间有什么条件，在数学上都是用方程式来表示，不过这种方程式和代数上所讲的普通方程式有些不同罢了。
最大的不同，就是它里面包含着诱导函数这个宝贝。
因此，为了和一般的方程式划分门户，我们就称它是微分方程式。
在代数中，有了一个方程式，是要去找出适合于这方程式的数值来，这个数值我们叫它是这方程式的根。
和这个情形相似，有了一个微分方程式，我们是要去找出一个适合于它的函数来。
这里所谓的“适合”
是什么意思呢？说明白点儿，就是比如我们找出了一个函数，将它的诱导函数的值，代进原来的微分方程式，这方程式还能成立，那就叫作适合于这个方程式。
而这个被找了出来的函数，便称为这个微分方程式的积分。
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