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七度上元重相会，寒食清明便可知。”
这诗虽然容易记诵，但意义不明，而且说得也欠周到。
到了程大位，它就改了面目：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆月正半，除百零五便得知。”
这诗流传得非常广，所以如卖盐老板之流也都知道，而我的哥哥所告诉我的秘诀就是它。
是的，知道了它，这类的题目便可以机械地算了，将三除所得的余数去乘七十，五除所得的余数去乘二十一，七除所得的余数去乘十五，再把这三项乘积相加。
如所得的和比一百零五小，那便是所求的答数；不然，则减去一百零五的倍数，而得出比一百零五小的数来——这里所要求的只是一个最小的答案——例如三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩三，那么，运算的步骤便是：
若单只就实用或游戏说，熟记这秘诀已够用了。
至于它是从哪儿来的，一般人哪儿管这么多？但就数学的立场来说，这种知其然而不知其所以然的态度却没有多大价值，即使熟记这秘诀，所能应付的问题不过一百零五个，因为只限于三三、五五、七七三种数法。
我们要默记这一百零五个答数并不是不可能，然而如果真的熟记这一百零五个答数，那就无意味了。
（见附注）
所以我们第一要问，为什么这样就是对的？
要说明其中的理由，我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：
（一）某数的倍数的倍数，还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。
（二）某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一起，他们仍然是我的哥哥一般。
依照这两个定理来检讨上面的算法，设R3表示用三除所得的余数，R5和R7相应地表示用五除和用七除所得的余数，那么：
（一）七十是五和七的倍数，而是三的倍数多一，所以用R3去乘仍是五和七的倍数，而是三的倍数多R3。
（二）二十一是七和三的倍数，而是五的倍数多一，所以用R5去乘仍是七和三的倍数，而是五的倍数多R5。
（三）十五是三和五的倍数，而是七的倍数多一，所以用R7去乘仍是三和五的倍数，而是七的倍数多R7。
（四）所以这三项相加，就三说，是70×R3+21×R5+15×R7=3的倍数+R3+3的倍数+3的倍数=3的倍数+R3。
若用三去除所得的余数正是R3。
就五说，是70×R3+21×R5+15×R7=5的倍数+R5+5的倍数+5的倍数=5的倍数+R5。
若用五去除所得的余数正是R5。
就七说，是70×R3+21×R5+15×R7=7的倍数+R7+7的倍数+7的倍数=7倍数+R7。
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