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pP、p1P′就相应地表示函数在x和x′那两点的值y和y′。
结果，无论P和P′点在AD上什么地方，我们都可以将y和y′找出来，所以y是x的函数，可以写成：
y=f（x）
这个函数就是BC曲线所表示的。
现在，再来求面积S的值吧！
将前面的四个矩形，再分成一些数目更多的较小的矩形。
由下图就可看明白，那些从曲线上画出的和AD平行的短线都比较挨近曲线；而斜纹所表示的部分也比上面的减小了。
因此，用这些新的矩形的面积的和来表示所求的面积S=1+2+3+……+12，比前面所得的误差就小得多。
再把AD分成更小的线段，比如是Ax1、Ax2、Ax3……由各点到曲线BC的距离设为y1、y2、y3……这些矩形的面积就是：
而总共的面积就等于这些小面积的和，所以：
若要想得出一个精确的结果，只需继续把AD分得段数一次比一次多，每段的间隔一次比一次短，每次都用各个小矩形的面积的和来表示所求的面积。
那么，S和这所得的近似值，误差便越来越小了。
这样做下去，到了极限，就是说，小矩形的数目是无限多，而它们每一个的面积便是无限小，这一群小矩形的和便是真实的面积S。
但是，所谓数目无限的一些无限小的量的和，它的极限，照前节所讲过的，就是积分。
所以我们刚才所讲的例子，就是积分在几何上的运用。
所求的面积S，就是x的函数y对x的积分。
换句话说，求一条曲线所切成的面积，必须计算那些连续的近似值，一直到极限，这就是所谓的积分。
到这里，为了要说明积分的原理，我们已举了两个例子：第一个，是说明积分法就是微分法的还原；第二个，是表示出积分法在几何学上的意味。
将这些范围和形式都不相同的问题的解决法贯通起来，就可以明白积分法的意义，而且还可以扩张它的使用范围，不是吗？我们讲诱导函数的时候，也是一步一步地逐渐弄明白它的意义，同时也就扩张了它活动的领域。
积分法既然是它的还原法，自然也可以照做了。
比如说，前面我们只是用它来计算面积，但如果我们用它来计算体积，也一样。
我们早就知道立方柱的体积等于它的长、宽、高相乘的积，假如我们所要求的那个物体的体积有一面是曲面，我们就可以先把它分成几部分，按照求立方柱的体积的方法，将它们的体积计算出来，然后将这几个积加在一起，这就是第一次的近似值了。
和前面一样，我们可以再将各部分细化，求第二次、第三次……的近似值。
这些近似值，因为越分项数越多，每项的值越小，所以近似程度就逐渐加高。
到了最后，项数增到无限多，每项的值变成了无限小，这些和的极限，就是我们所求的体积，这种方法就是积分。
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