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王老头子的汤圆的堆法，各层都是正方形，顶上一层是一个，第二层一边是二个，第三层一边是三个，第四层一边是四个……这样到第n层，一边便是n个。
而正方形的面积，这是大家都已经知道的，等于一边的长的平方。
所以若就各层的个数说，王老头子每夜所做的汤圆便是：
第一步我们容易知道：
第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：
这就到了第三步，这假定的公式对于n+1也对吗？我们在这假定的公式中，两边都加上（n+1）2这便是Sn+1，所以
这最后的形式和我们所假定的公式完全一样，所以我们的假定是对的。
这公式是用于正三角锥形的，所谓正三角锥形，第一层是一个，第二层是一个加二个，第三层是一个加二个加三个，第四层是一个加二个加三个加四个……这样推下去到第n层便是：
1+2+3+4+……+n
而总和便是：
Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+……+（1+2+3+4+……+n）
第一步，我们找出，
第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：
跟着到第三步，证明这假定的公式对于n+1也是对的，就是在假定的公式两边都加上1+2+3+4+……+n+n+1
这最后的形式，不是和我们所假定的公式的形式一样吗？可见我们的假定是对的。
第一步和证明前两个公式的，没有什么两样，我们无妨省事一点儿，将它略去，只来证明这公式对于n+1也是对的。
这种堆法，第一层是p个，第二层是两个（p+1）个，第三层是三个（p+2）个……照样推上去，第n层是n个（ p + n? 1）个。
所以，
而Sn+1=p+2（p+1）+3（p+2）+……+（n+1）（p+n）假定上面的公式关于n是对的，则
不用说，这最后的形式，和我们假定的公式完全一样，我们所假定的公式便是对的。
我们也来假定它关于n是对的，而证明它关于n+1也是对的。
这种堆法，第一层是ab个，第二层是（a+1）（b+1）个，第三层是（a+2）（b+2）个……照样推上去，第n层便是（a
+ n ? 1）（b
+ n? 1）个，所以：a
+n）+n ?1）
假定上面的公式对于n是对的，则
在形式上，这最后的结果和我们所假定的公式也没有什么分别，可知我们的假定一点儿不差。
四
用数学的归纳法，四个公式都证明了，按理说我们可以心满意足了。
但是，仔细一想，这种证明法，巧妙固然巧妙，却有一个大大的困难在里面。
这困难并不在从Sn证Sn+1这第二、第三两步，而在第一步发现我们所要假定的Sn的公式的形式。
假如别人不曾将这公式提出来，你要从一项、两项、三项、四项……老老实实地相加而发现一般的形式，这虽然不好说不可能，但真是不容易，因此我们再说另外一种找寻这几个公式的方法。
我把这一种方法，叫分项加合法，这是一种知道了一个级数的一般项，而求这级数的n项的和的一般的方法。
什么叫级数、算术级数和几何级数，大概早已在你洞鉴之中了。
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